Flujo Máximo - Algoritmo de Ford-Fulkerson

Modelo del flujo máximo: En algunas redes circula por los arcos un flujo (envío o circulación de unidades homogéneas de algún producto: automóviles en una red de carreteras, litros de petróleo en un oleoducto, bits por un cable de fibra óptica) desde el origeno fuente al destino, también denominado sumidero o vertedero. Los arcos tienen una capacidad máxima de flujo, y se trata de enviar desde la fuente al sumidero la mayor cantidad posible de flujo, de tal manera que:

• El flujo es siempre positivo y con unidades enteras.
• El flujo a través de un arco es menor o igual que la capacidad.
• El flujo que entra en un nodo es igual al que sale de él.

En el caso de que el origen o el destino no existan en el problema, se añaden ficticiamente utilizando arcos unidireccionales de capacidad infinita, como en grafo mostrado a continuación:

• Corte: Un corte define una serie de arcos cuya supresión de la red causa una interrupción completa del flujo entre el origen y el destino. La capacidad de corte es igual a la suma de las capacidades de los arcos asociados. Entre todos los cortes posibles en la red , el corte con la menor capacidad proporciona el flujo máximo en la red.
• El siguiente grafo ilustra 3 cortes: el Corte 1 con capacidad 60, el Corte 2 con capacidad 110 y el Corte 3 con capacidad 70. Todo lo que podemos obtener de los 3 cortes es que el flujo máximo en la red no excede de 60 unidades. No podemos saber cual es el flujo máximo hasta que se hayan enumerado todos los cortes en la red:

Las capacidades se identifican como sigue: por ejemplo, para el arco (3,4), el límite de flujo es de 10 unidades de 3 a 4 y de 5unidades de 4 a 3.

• Algoritmo de Ford-Fulkerson: El algoritmo de Ford-Fulkerson propone buscar caminos en los que se pueda aumentar el flujo, hasta que se alcance el flujo máximo.La idea es encontrar una ruta de penetración con un flujo positivo neto que una los nodos origen y destino.
  Consideraremos las capacidades iniciales del arco que une el nodo i y el nodo j como Cij y Cji. Estas capacidades iniciales irán variando a medida que avanza el algoritmo, denominaremos capacidades residuales a las capacidades restantes del arco una vez pasa algún flujo por él, las representaremos como cij y cji.
  Para un nodo j que recibe el flujo del nodo i, definimos una clasificación [aj,i] donde aj es el flujo del nodo i al nodo j.
  Los pasos del algoritmo se definen como sigue:
  
  • Paso 1: Inicializamos las capacidades residuales a las capacidades iniciales, hacemos (cij,cji)=(Cij,Cji) para todo arco de la red. Suponiendo el nodo 1 como el nodo origen, hacemos a1=∞ y clasificamos el nodo origen con [∞,-]. Tomamos i=1 y vamos al paso 2.
• Paso 2: Determinamos Si como un conjunto que contendrá los nodos a los que podemos acceder directamente desde i por medio de un arco con capacidad positiva, y que no formen parte del camino en curso. Si Si contiene algún nodo vamos al paso 3, en el caso de que el conjunto sea vacío saltamos al paso 4.
• Paso 3: Obtenemos kЄSi como el nodo destino del arco de mayor capacidad que salga de i hacia un nodo perteneciente a Si. Es decir, cik = max{cij} con jЄSi. Hacemos ak=cik y clasificamos el nodo k con [ak,i]. Si k es igual al nodo destino o sumidero, entonces hemos encontrado una ruta de penetración, vamos al paso 5. En caso contrario continuamos con el camino, hacemosi=k y volvemos al paso 2.
• Paso 4 (retroceso): Si i=1, estamos en el nodo origen, y como Si es vacío, entonces no podemos acceder a ningún nodo, ni encontrar algún nuevo camino, hemos terminado, vamos al paso 6.
  En caso contrario, i≠1, le damos al valor i el del nodo que se ha clasificado inmediatamente antes, eliminamos i del conjunto Siactual y volvemos al paso 2.
• Paso 5: Llegados a este paso tenemos un nuevo camino: Np={1,k1,k2,...,n}, esta será la p-ésima ruta de penetración desde el nodo origen al nodo destino. El flujo máximo a lo largo de esta ruta será la capacidad mínima de las capacidades residuales de los arcos que forman el camino, es decir: fp=min{a1,ak1,ak2,...,an}.
  La capacidad residual de cada arco a lo largo de la ruta de penetración se disminuye por fp en dirección del flujo y se incrementa por fp en dirección inversa, es decir, para los nodos i y j en la ruta, el flujo residual se cambia de la (cij,cji) actual a (cij-fp,cji+fp)si el flujo es de i a j, o (cij+fp,cji-fp) si el flujo es de j a i
  Inicializamos i=1 y volvemos al paso 2 para intentar una nueva ruta de penetración.
• Paso 6 (solución): Una vez aquí, hemos determinado m rutas de penetración. El flujo máximo en la red será la suma de los flujos máximos en cada ruta obtenida, es decir: F=f1+f2+...+fm. Teniendo en cuenta que las capacidades residuales inicial y final del arco (i, j) las dan (Cij,Cji) y (cij,cji) respectivamente, el flujo máximo para cada arco se calcula como sigue: sea (α, β)=(Cij-cij, Cji-cji), si α>0, el flujo óptimo de i a j es α, de lo contrario, si β>0, el flujo óptimo de j a i es β. Es imposible lograr que tanto αcomo β sean positivas.

• Ejemplo: Determinar el flujo máximo en la red siguiente:

Iteración 1:

• Determinamos las residuales iniciales (cij,cji) iguales a las capacidades iniciales (Cij,Cji).
• Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1.
• Paso 2: S1={2,3,4} (no vacío).
• Paso 3: k=3 ya que c13=max{c12,c13,c14}={20,30,10}=30. Hacemos a3=c13=30 y clasificamos el nodo 3 con [30,1]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2.
• Paso 2: S3={4,5}
• Paso 3: k=5 y a5=c35=max{10,20}=20. Clasificamos el nodo 5 con [20,3]. Logramos la penetración, vamos al paso 5.
• Paso 5: La ruta de la penetración se determina de las clasificaciones empezando en el nodo 5 y terminando en el nodo 1, es decir, 5→[20,3]→3→[30,1]→1.Entonces la ruta es N1={1,3,5} y f1=min{a1,a3,a5}={∞,30,20}=20. Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son:

(c13,c31)=(30-20, 0+20)=(10,20)

(c35,c53)=(20-20, 0+20)=(0,20)

• Iteración 2:

• Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1.
• Paso 2: S1={2,3,4}.
• Paso 3: k=2 y a2=c12=max{20,10,10}=20. Clasificamos el nodo 2 con [20,1]. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2.
• Paso 2: S2={3,5}
• Paso 3: k=3 y a3=c23=max{30,40}=40. Clasificamos el nodo 3 con [40,2]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2.
• Paso 2: S3={4} (c35=0, el nodo 1 ya ha sido clasificado y el nodo 2 cumple ambas condiciones, por tanto los nodos 1, 2 y 5 no pueden ser incluidos en S3).
• Paso 3: k=4 y a4=c34=10. Clasificamos el nodo 4 con [10,3]. Tomamos i=4 y repetimos el paso 2.
• Paso 2: S4={5}
• Paso 3: k=5 y a5=c45=20. Clasificamos el nodo 5 con [20,4]. Logramos la penetración, vamos al paso 5.
• Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[20,4]→4→[10,3]→3→[40,2]→2→[20,1]→1.Entonces la ruta es N2={1,2,3,4,5} y f2=min{∞,20,40,10,20}=10. Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son:

(c12,c21)=(20-10, 0+10)=(10,10)

(c23,c32)=(40-10, 0+10)=(30,10)

(c34,c43)=(10-10, 5+10)=(0,15)

(c45,c54)=(20-10, 0+10)=(10,10)

• Iteración 3:

• Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1.
• Paso 2: S1={2,3,4}.
• Paso 3: k=2 y a2=c12=max{10,10,10}=10, rompemos el empate arbitrariamente. Clasificamos el nodo 2 con [10,1]. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2.
• Paso 2: S2={3,5}
• Paso 3: k=3 y a3=c23=max{30,30}=30. Clasificamos el nodo 3 con [30,2]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2.
• Paso 2: S3 vacío ya que c34=c35=0. Vamos al paso 4 para retroceder.
• Paso 4: La clasificación [30,2] nos dice que el nodo inmediatamente precedente es el 2. Eliminamos el nodo 3 de una consideración posterior en esta iteración. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2.
• Paso 2: S2={5}
• Paso 3: k=5 y a5=c25=30. Clasificamos el nodo 5 con [30,2]. Logramos la penetración, vamos al paso 5.
• Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[30,2]→2→[10,1]→1.Entonces la ruta es N2={1,2,5} y f3=min{∞,10,30}=10. Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son:

(c12,c21)=(10-10, 10+10)=(0,20)

(c25,c52)=(30-10, 0+10)=(20,10)

• Iteración 4:

• Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1.
• Paso 2: S1={3,4}.
• Paso 3: k=3 y a3=c13=max{10,10}=10. Clasificamos el nodo 3 con [10,1]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2.
• Paso 2: S3={2}
• Paso 3: k=2 y a2=c32=10. Clasificamos el nodo 2 con [10,3]. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2.
• Paso 2: S2={5}
• Paso 3: k=5 y a5=c25=20. Clasificamos el nodo 5 con [20,2]. Logramos la penetración, vamos al paso 5.
• Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[20,2]→2→[10,3]→3→[10,1]→1.Entonces la ruta es N4={1,3,2,5} y f4=min{∞,10,10,20}=10. Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son:

(c13,c31)=(10-10, 20+10)=(0,30)

(c32,c23)=(10-10, 30+10)=(0,40)

(c25,c52)=(20-10, 10+10)=(10,20)

• Iteración 5:

• Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1.
• Paso 2: S1={4}.
• Paso 3: k=4 y a4=c14=10. Clasificamos el nodo 4 con [10,1]. Tomamos i=4 y repetimos el paso 2.
• Paso 2: S4={3,5}
• Paso 3: k=3 y a3=c23=max{15,10}=15. Clasificamos el nodo 3 con [15,4]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2.
• Paso 2: S3 vacío ya que c32=c34=c35=0. Vamos al paso 4 para retroceder.
• Paso 4: La clasificación [15,4] nos dice que el nodo inmediatamente precedente es el 4. Eliminamos el nodo 3 de una consideración posterior en esta iteración. Tomamos i=4 y repetimos el paso 2.
• Paso 2: S4={5}
• Paso 3: k=5 y a5=c45=10. Clasificamos el nodo 5 con [10,4]. Logramos la penetración, vamos al paso 5.
• Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[10,4]→4→[10,1]→1.Entonces la ruta es N2={1,4,5} y f3=min{∞,10,10}=10. Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son:

(c14,c41)=(10-10, 0+10)=(0,10)

(c45,c54)=(10-10, 10+10)=(0,20)

• Iteración 6:

• No son posibles más penetraciones, debido a que todos los arcos fuera del nodo 1 tienen residuales cero. Vayamos al paso 6 para determinar la solución.

• Paso 6: El flujo máximo en la red es F=f1+f2+...+f5=60 unidades. El flujo en los diferentes arcos se calcula restando las últimas residuales obtenidas en la última iteración de las capacidades iniciales:

Arco	(Cij, Cji) - (cij, cji)en it. 6	Cantidad de flujo	Dirección
(1,2)	(20, 0) - (0, 20) = (20, -20)	20	1→2
(1,3)	(30, 0) - (0, 30) = (30, -30)	30	1→3
(1,4)	(10, 0) - (0, 10) = (10, -10)	10	1→4
(2,3)	(40, 0) - (40, 0) = (0, 0)	0	-
(2,5)	(30, 0) - (10, 20) = (20, -20)	20	2→5
(3,4)	(10, 5) - (0, 15) = (10, -10)	10	3→4
(3,5)	(20, 0) - (0, 20) = (20, -20)	20	3→5
(4,5)	(20, 0) - (0, 20) = (20, -20)	20	4→5

A continuacion Veremos un video con la alplicacion del algoritmo de Ford-Fullkerson