Redes De Flujo De Costo Minimo

Modelo de la ruta más corta

Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al destino.

Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino.

Algoritmo de la ruta más corta:

1. Objetivo de la n-ésima iteración: encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen. (Este paso se repetirá para n=1,2,… hasta que el n-ésimo nodo más cercano sea el nodo destino.)
2. Datos para la n-ésima iteración: n-1 nodos más cercanos al origen (encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos.)
3. Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano: Cada nodo resuelto que tiene conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un candidato, y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales.)
4. Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-ésimo nodo más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta más corta es la que genera esta distancia.

PROBLEMA DEL FLUJO DE COSTO MÍNIMO

El problema de flujo de costo mínimo tiene una posición medular entre los problemas de optimización de redes; primero, abarca una clase amplia de aplicaciones y segundo, su solución es muy eficiente. Igual que el problema del flujo máximo, toma en cuenta un flujo en una red con capacidades limitadas en sus arcos. Igual que el problema de la ruta más corta, considera un costo (o distancia) para el flujo a través de un arco. Igual que el problema de transporte o el de asignación, puede manejar varios orígenes (nodos fuente) y varios destinos (nodos demandas) para el flujo, de nuevo con costos asociados. De hecho, estos cuatro problemas son casos especiales del problema de flujo de costo mínimo.

A continuación se describe el problema del flujo de costo mínimo:

1. La red es una red dirigida conexa.
2. Al menos uno de los nodos es nodo fuente.
3. Al menos uno de los nodos es nodo demanda.
4. El resto de los nodos son nodos de trasbordo.
5. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco. (Si el flujo puede ocurrir en ambas direcciones, debe representarse por un par de arcos con direcciones opuestas.)
6. La red tiene suficientes arcos como suficiente capacidad para permitir que todos lo flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda.
7. El costo del flujo a través del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde se conoce el costo por unidad.
8. El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a través de la red para satisfacer la demanda dada. (Un objetivo alternativo es maximizar la ganancia total del envío.)

FORMULACION DEL EJEMPLO

Problema del flujo de costo mínimo (Ejemplo)

La DISTRIBUTION UNLIMITED CO. Fabricará el mismo nuevo producto en dos plantas distintas y después tendrá que enviarlo a dos almacenes. La red de distribución disponible para el envío de este producto se muestra en la figura, donde A y B son las fábricas, D y E son los almacenes y C es el centro de distribución. Las cantidades que deben enviarse desde A y B se muestran a la izquierda, y las cantidades que deben recibirse en D y E se muestran a la derecha. Cada flecha representa un canal factible de envío. A puede enviar directamente a D y tiene tres rutas posibles (ACE, ABCE y ADE) para mandar bienes a E. La fábrica B tiene solo una ruta a E (BCE) y una a D (BCED). El costo por unidad enviada a través de cada canal se muestra al lado de la flecha. También, junto a AB y CE se muestran las cantidades máximas que se pueden enviar por estos canales. Los otros canales tienen suficiente capacidad para manejar todo lo que las fábricas pueden enviar.

La decisión que debe tomarse se refiere a cuánto enviar a través de cada canal de distribución. El objetivo es minimizar el costo total de envío.

Formulación:

Minimizar

Sujeto a:

APLICACIÓN PRÁCTICA DEL PROBLEMA DEL FLUJO DE COSTO MÍNIMO

El tipo más importante de aplicación del problema del flujo de costo mínimo es en la operación de la red de distribución de una compañía. En la siguiente tabla se muestran algunos tipos de aplicaciones comunes del problema de del flujo de costo mínimo:

Tipo de Aplicación	Nodos Fuentes	Nodos de Trasbordo	Nodos de Demanda
Operación de una red de distribución	Fuentes de bienes	Almacenes intermedios	Consumidores
Administración de desechos sólidos	Fuente de desechos sólidos	Instalaciones de procesamiento	Rellenos
Operación de una red de suministros	Agentes de ventas	Almacenes intermedios	Instalaciones de procesamiento
Coordinación de mezcla de productos en plantas	plantas	Producción de u artículo específico	Mercado del producto específico
Administración de flujo de efectivo	Fuentes de efectivo en tiempos específicos	Opciones de inversión a corto plazo	Necesidades de efectivo en tiempos específicos

En Los Siguientes Videos Veremos la Aplicacion Del flujo de costo minimo y del algoritmo de dijkstra